科学网爱因斯 坦和哥德尔

百变双扣 2019-06-12 14:1078http://www.geo-hitch.com/admin

爱因斯坦和哥德尔,是当年在普林斯顿高等研究院里经常一块儿散步的一对忘年交。那是在爱因斯坦去世前的十几年,从1940年,哥德尔正式受聘到普林斯顿高研院开始,一直到爱因斯坦生病去世。爱因斯坦有一段话,可看出他对哥德尔的欣赏程度。爱因斯坦晚年时曾经对经济学家奥斯卡·摩根斯坦(Oskar Morgenstern)表示说,他自己的研究已经没有太大意义,而他之所以每天还到高等研究院来,只是为了与哥德尔一起走路回家!

 

对公众而言,爱因斯坦的名字家喻户晓,但哥德尔却鲜为人知。那么,哥德尔何许人也?对科学有些什么杰出的贡献,才会使得爱因斯坦如此推崇他?

 

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库尔特·弗雷德里希·哥德尔(德语:Kurt Friedrich Gödel1906年-1978年),是一个出生于奥匈帝国,后半生在美国度过的数学家。被人誉为亚里士多德之后最好的逻辑学家。

 

哥德尔比爱因斯坦晚出生27年,在1906年,爱因斯坦发表3篇重要论文之“奇迹年”后的第二年,哥德尔才呱呱坠地。哥德尔天分极高,从小是个数学神童,喜欢寻根究底地问问题,因而在4岁的时候就得了一个“为什么先生”的绰号。在维也纳大学时,他曾经修读过理论物理,也研究过相对论,之后专攻逻辑学和集合论。他最重要的数学成果:哥德尔不完备定理,是他在25岁(1931年)紧接着博士论文之后完成的【1

 

哥德尔不完备性定理包含两个定理:

 

1. 一个包含了算术的任意数学系统,不可能同时满足完备性和一致性;

2. 一个包含了算术的任意数学系统,不可能在这个系统内部来证明它的一致性。

 

让我们试图用通俗(不太严格)的说法来理解哥德尔的不完备性定理,以及他的证明方式。

 

通俗而言,完备性指的是这个系统包括了所有它定义的对象,一致性指的是没有逻辑上的自相矛盾。所以,首先将两个定理翻译成通俗语言:

 

1. 一个算术系统,要么自相矛盾,要么总能得出一些无法包括于该系统中的结论;

2. 不可能在一个算术系统内部,证明此系统是不自相矛盾的。

 

哥德尔不完备性定理的数学证明过程十分复杂,但是哥德尔定理及其方法的核心思想,都是运用了“自指”(自我指涉)的概念,这个概念可以用著名的“理发师悖论”来说明。

 

传说某小镇上只有一个理发师,他将他的顾客群(系统)定义为“城中所有不给自己理发之人”。但某一天,当他想给自已理发时却发现他的“顾客”定义是自相矛盾的。因为如果他不给自己理发,他自己就属于“顾客”,就应该给自己理发;但如果他给自己理发,他自己就不属于“顾客”了,但他给自己理了发,又是顾客,到底自己算不算顾客?该不该给自己理发?这逻辑似乎怎么也理不清楚,由此而构成了“悖论”。

 

也就是说,这位理发师定义的“顾客系统”要么是自相矛盾的,要么是不完备的,因为“他自己”无法属于这个系统。完备性和一致性不可兼得,这就是哥德尔第一不完备定理说的意思。

 

进一步分析下去:如果我们想要证明这个“顾客系统”是自相矛盾的,就必须得将“他自己”加进去,加进去才发现自相矛盾,不加进去就不自相矛盾。而加了他自己后的系统,已经不是他原来(未曾考虑自己时)定义的系统。所以结论是,他不可能在他原来定义的系统内部,证明那个系统是自相矛盾的,这就是哥德尔第二不完备定理的意思。

 

从上面的分析可知,问题是在于“包含自身”这种自指描述,例如,理发师 “只为不给自己理发的人理发”,说谎者说 “我正在说谎”,罗素用严格的数学语言定义的“罗素悖论”【2,都是自指命题。哥德尔则模仿这些例子写出了一句话“这句话是不能证明的”。这种自指描述,被哥德尔用作为他证明不完备定理的重要工具。

 

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